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自旋模型统一:将复杂的物理问题简化
来源 : 科学之家   发布时间 : 2016-03-14 12:00

近日,英国伦敦大学学院的两位理论物理学家提出了一种方法,可以将所有的自旋模型转变为二维伊辛模型。此前,伊辛模型和其他的自旋模型都是自旋模型大家庭中的成员,各自之间毫不相干。而这两位科学家的研究将自旋模型简单化,用一种模型概括了所有种类的自旋模型。

伊辛模型(Ising model)是一个最简单且可以提供丰富物理内容的自旋模型,可用于描述很多物理现象,并因此成为了物理学发展历史中的传奇。伊辛模型也是世界上第一个自旋模型,最早由德国的物理学家Wilhelm Lenz在1920年发明,然后将其赠与他的学生Ernst Ising进行分析研究。伊辛模型的影响远远超越了物理学的范畴,因为它曾被用来模拟多种现象和情况,如股票市场、蛋白质折叠、森林火灾、以及城市交通等。许多研究人员都认为伊辛模型是一个非凡的创造,不只是因为它能够模拟一切现象和情况,而是因为它竟然如此的简单。

伊辛模型的提出最初是为了解释磁性物质的相变,如铁和镍等。这些物质会相互吸引,因为它们中的原子就像小磁条棒一样。磁性物质在加热到居里温度(一种临界温度,指材料可以在铁磁体和顺磁体之间改变的温度)以上会出现磁性消失的现象,因为原子会以无序的方向急速移动,导致它们之间的磁场消失,而降温到居里温度以下又会表现出磁性,因为所有的原子会突然以相同的方向运动。这种有磁性、无磁性两相之间的转变,被称作连续相变(也叫二级相变)。

伊辛模型假设磁性物质是由一些规则排列的小磁针构成的,每个磁针只能带着热能自旋(即向上下两个方向运动)。相邻的小磁针之间通过能量约束产生相互作用,同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性随机转变(即上下转变)。涨落的大小由关键的温度参数决定,温度越高,随机涨落干扰越强,小磁针越容易发生无序而剧烈的状态转变,从而让上下两个方向的磁性相互抵消,导致整个系统的磁性消失。如果温度降低到一定程度,小磁针则会相对安静,系统中的高热就会被约束而不能产生作用,大量的小磁针会向同一方向运动,系统中能够展现出磁性。

因此,小磁针会受到两种作用力的影响,一种力来源于小磁针邻居以及外磁场对它的影响,这种影响会使得小磁针和邻居彼此状态一致以及与外磁场尽量保持一致,即尽量使得系统的总能量达到最小。另外一种力则来源于环境噪声的干扰,它能使小磁针无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是,每个小磁针都会在这两种不同的力量之间挣扎。

Ernst Ising希望通过这个模型能够证明在温度足够低的情况下,小磁针的自旋会经历磁性相变。然而,Ising只能展示和分析一维伊辛模型,并且他发现在一维伊辛模型中不会发生相变。因为在一维伊辛模型中,每个自旋的小磁针没有足够多产生自旋的邻居,因而不可能出现所有自旋小磁针取向完全相同的情况,同时,不论铁磁性或反铁磁性,都不会实现有序的状态。Ising还推测,在二维伊辛模型和三维伊辛模型中,也不会发生磁性的相变。

然而在1944年,挪威裔的美国化学家拉斯•昂萨格在二维正方形自旋模式中,运用统一耦合和外磁场展示和分析了伊辛模型。拉斯•昂萨格的研究表明,在二维伊辛模型中存在相变。至于在存在外磁场的情形下,三维伊辛模型中是否存在相变,许多理论物理学家已经研究了多年,但至今还没有取得令人满意的结果。

同时,由于伊辛模型在其他领域应用中存在一些问题,物理学家们又发明了许多其他的自旋模型。在这些模型中,磁针不只有上下两种自旋模式,而是有5种可能的自旋状态,又或者是像指南针一样,可以指向任何方向。同时,小磁针也不只是两个一组互相产生作用,而是能以组团的形式,和其他组团的自旋相互影响。另外,小磁针的自旋也超越了临近的区域,扩展到了更广阔的范围。这些新发明的自旋模型被应用到了物理学以外的其他学科领域,例如,在运用新的自旋模型模拟流行病传播的时候,自旋模式可被设定为三个状态——健康、生病、康复。因此,一些研究人员认为,“自旋模型”这个名称局限性太大,不能很好的诠释这个模型多种多样的功能。

然而近日,英国伦敦大学学院的两位研究人员发现,这些不同的自旋模型都能被转变成最经典、最原始的二维伊辛模型,无论这些自旋模型有多么复杂。他们注意到,伊辛模型中的上下两种自旋模式就像逻辑语言的错或对两种可能一样,比如在“这辆汽车是白色的”这句话中,只有“车是白色的”或“车不是白色的”这两种可能。随后,这两位研究人员将SAT问题映射到了二维伊辛模型上。他们证明,任何特殊的二维伊辛模型,比如有特殊的耦合装置和外磁场,就像可满足性问题(SAT问题)中的一个算法一样。可满足性问题是为了找到一个算法,能在多项式的时间内找到该公式的一个赋值,使其真值为真。接下来,他们又证明了其他的任何自旋模型是如何可以被转化成SAT问题的。

这两位研究人员表示,研究结果让他们非常吃惊,因为既然所有的自旋模型都能被转变成最原始的二维伊辛模型,那就表明二维伊辛模型看似简单,其实却比任何的自旋模型都复杂。

小编有话说:这就像托尔金的奇幻三部曲《指环王》中的坏人索伦一样,他分别给了人类、精灵和矮人的国王一枚魔戒,然后为自己锻造了一枚可以统治其他戒指的戒指。
 
Pic Credit: Christian Hackenberg

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